"Geometria Analítica" em alguns livros didáticos
APRESENTAÇÃO Escolhi este tema por acreditar na importância que a Geometria Analítica tem para a formação do educando por isso resolvi alargar meus conhecimentos neste ramo para poder trabalhar com mais segurança, também tive como objetivo aprender escolher um bom livro didático. A primeira parte da pesquisa foi dedicada a um breve histórico sobre seu desenvolvimento e a colaboração dos dois maiores pensadores (Descartes e Fermat), aonde abordei as principais contribuições para seu desenvolvimento e sua consolidação. Na segunda parte faço análise e comparo alguns livros didáticos em relação à distribuição dos conteúdos, a linha metodológica e a estrutura elaborada por cada um dos autores, onde ressalto as diferenças e semelhanças entre textos e livros didáticos utilizados nas escolas de Ensino Médio. DESENVOLVIMENTO As primeiras idéias sobre a Geometria Analítica surgem na Grécia por volta dos séculos dezesseis – dezessete, mas a França é que passou ser centro do desenvolvimento matemático durante o segundo terço do século dezessete. Períodos considerado um dos mais difícil na historia da matemática devido à falta de intercomunicação. Os personagens que mais se destacaram foram, René Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665) outros franceses como, Gilles Persone de Roberval (1602-1675), Girand Desargues (1591-1661) e Blaise Pascal (1622-1667) e Mersenne teve um papel importante servindo de interlocutor de correspondência entre os grupos científicos na Itália, Inglaterra e França. Sendo considerado o centro de distribuição de informações de matemática. CONTRIBUIÇÕES DE DESCARTES (1596-1650) Descartes era filho de família humilde estudou num colégio jesuíta. Gradua-se em direito para satisfazer os desejos do pai. Viajou alguns anos, em companhia militares, apesar, de não ser militar. Aproveitava os intervalos das viagens para estudar e encontrar com outros estudiosos. Num desses encontros conheceu alguns dos principais estudiosos (sábios) da Europa. E um grupo de cientistas que discutiam e faziam criticas livremente sobre a filosofia aristotélica dessas discussões ele se tornou o pai da filosofia moderna para apresentar uma visão científica transformada do mundo e estabelecer um novo ramo da matemática, a Geometria Analítica. Eves, conta que o surgimento da Geometria Analítica ocorreu enquanto Renê Descartes, ficava sobre uma cama observando uma mosca voando, nessa observação, se deu conta de que toda posição ocupada pela mosca podia ser determinada pela intersecção de três planos ortogonais paralelos às faces da cama. A parti desse fato, ocorrido por volta de 1619, surge o sistema de coordenadas que nada mais é que a idéia de integração entre álgebra e geometria, atribuindo assim um novo campo de explorações para os tempos futuros. A MATEMÁTICA E O MÉTODO NA OPINIÃO DE DESCARTES Ele considerava a matemática a única ciência, capaz de desenvolver outras ciências sem fazer parte delas, procurava conhecer melhor a matemática, porque acreditava ser através dela que poderia impor argumentos. Apesar de ser considerado conhecedor dos princípios matemáticos, recorria a outros conhecimentos com a finalidade de gerar ciências. Via nas conversas dos grupos que priorizavam as coisas, mas deixavam passar despercebido à observação das relações entre elas. Para evitar transtorno desse tipo, ele considera fundamental a criação de um "método" para a procura da verdade com organização de estudos para exercitar a mente na busca do novo para desenvolver o hábito de fazer as coisas certas, porque a busca aleatória pode provocar cegueira. Seu propósito não era ensinar o método, pois cada um deve seguir o seu, para melhor conduzir sua própria razão. A matemática é considerada magnífica por Descartes, Embora os antigos tivessem como uma das ciências mais complicadas. Ainda que, dificultassem os meios de como se chegar aos resultados por questões de competição, as vezes massacrava a simplicidade dos cálculos, deixando como herança, a impressão de que “todo cálculo matemático” é complicado na verdade não é o cálculo, mas a descoberta do método. Ele apresenta a matemática como uma invenção, surpreendente e sutil que poderá servir tanto para satisfazer curiosos quanto para auxiliar as artes e também para poupar o trabalho do ser humano. Ele defendia uma matemática que não se mencionasse somente às coisas, mas às relações entre elas, relações essas que as matemáticas comuns não atraem no seu todo. Descartes se dedicou, aos estudos das matemáticas lendo a maior parte de tudo que os professores ensinavam em sua época, mas deu prioridade aos manuscritos de Aritmética e Geometria, porque eram consideradas as mais fáceis e que também eram vista como abertura para entender as demais áreas de conhecimentos. CONTRIBUIÇÕES de Fermat (1601-1665) Pierre de Fermat nasceu em 1601 na França, estudou direito em Toulouse na universidade de Orleans onde se formou advogado civil. -Serviu no parlamento local, como advogado, depois como conselheiro e nas horas vagas dedicava à literatura clássica, a outras ciências e a matemática, apenas por prazer. Aos 28 anos de idade começou fazer descobertas de grande importância em matemática. Em 1629 começou praticar um dos esportes favoritos da época, a “restauração” de obras perdidas da antiguidade. Se propôs a reconstruir os Lugares planos de Apolônio contido na coleção de matemática de Papus. E como resultado de seu esforço surge a descoberta do princípio fundamental da Geometria Analítica. “Sempre que uma equação final encontra-se duas quantidades incógnitas, temos um lugar, a extremidade de uma delas descrevendo uma linha, reta ou curva”. Fermat, Aqud, Boyer, (1994, p.253). Esse escrito aparece um ano antes da Geometria de Descartes, mas como não tinha influencia como Descartes seu trabalho não foi publicado. Em 1636, Carcavi foi a Paris e fez contato com Mersenne e seu grupo Mersenne se sentiu motivado com o relato sobre o trabalho de Fermat. Esse ao se comunicar com Mersenne contou sobre erros que acreditava ter encontrado nos trabalhos de Galileu, sobre queda livre, contou também sobre suas experiências em espirais e sobre a restauração do trabalho sobre planos. Seu trabalho em espirais foi motivado pela consideração do caminho descrito por corpos em queda livre, usando métodos generalizados a partir de sobre espirais de Arquimedes. Segundo Boyer, a exposição do método apresentado por Fermat em relação a vários casos de equações quadraticas com duas incógnitas era mais didático que o de Descartes.Alem disso, sua Geometria Analítica era mais próxima da atual pelo fato de ser as coordenadas usualmente tomadas perpendicularmente ao eixo das abscissas. Apesar das descobertas sobre queda livre, Fermat não tinha grandes interesses em aplicações físicas e da matemática. Por que estava mais interessado em provar teoremas sobre geometria, do que em sua relação com o mundo real. Na primeira carta dele a Mersenne, havia dois problemas sobre máximos, que ele pediu a Mersernne que passasse aos matemáticos de Paris. Este era seu estilo, desafiar outros a obter resultados que ele já sabia. Roberval e Mersenne acharam os problemas propostos difíceis e insolúveis. Pediram a Fermat que divulgasse suas técnicas de resolução os quais, mandou o processo para determinar máximos, mínimos e tangentes a linhas curvas, e a aproximação da algébrica a geometria. Sua maneira de desafiar outros matemáticos contribuiu para as inimizades.Em uma dessas controvérsias envolveu Descartes. Ao receber o trabalho de Descartes, intitulado La Deoptrique deu sua opinião sobre o trabalho dizendo, Descartes ainda esta “Tateando nas sombras”. Descartes ficou furioso com o adversário, tentou atacar os métodos de Fermat para máximos, mínimos e tangentes, mas Fermat mostrou ser correto e Descartes acabou concordando. Tanto Descartes quanto Fermat entenderam a conexão básica entre uma curva geométrica e uma equação em duas incógnitas. Usaram como ferramenta básica, um único eixo, uma das incógnitas era medida, ao invés dos dois eixos como utilizamos hoje. Os dois abordavam o assunto sob pontos de vistas diferentes: - Descartes se interessava em geometria, a partir da descrição geométrica de uma curva, ele era capaz de obter a equação para essa curva, como isso, ele era forçado a lidar com equações complexas. A complexidade de certas equações algébricas fez com que descobrisse métodos para lidar com equações de alto grau. - Fermat, declarou que uma equação em duas variáveis determinava uma curva, ele sempre começava com a equação para depois descrever a curva. Ambos enfatizaram dois diferentes aspectos da relação entre equação e curva. Fermat não teve influencia de um trabalho publicado, embora fosse apresentado claramente e circulado em toda a Europa. Enquanto o trabalho de Descartes apos ser feita alguma correção foi novamente editado e reconhecido como ele o desejava. A CONSOLIDAÇÃO
A estabilidade dos métodos da Geometria Analítica aconteceu lentamente, porque as idéias eram demasiadamente novas; também porque a utilização adequada de novos símbolos era rara. O apêndice La Geometrie do Discurso do Método de Descartes foi colocado no índice papal dos livros proibidos e o trabalho de Fermat veio apenas em 1679 ainda em copias manuscritas. O passo decisivo na ampliação do princípio fundamental da Geometria Analítica foi dado por Euler com sua Introdução à análise das grandezas infinitamente pequenas, 1748. A expressão específica – Geometria Analítica – procedeu de Lacroix ( lacroá) que utilizou em 1796-1799 em seu livro “Cour de malhemetiques”. No decorrer do século XIX se dotou a Geometria Analítica com extensos meios auxiliares algébricos, as quais, recebeu traços característicos de sua forma atual. ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS Analisei cinco livros didáticos utilizados nos cursos ginasiais e Ensino Médio, enfocando a parte que trata de Geometria Analítica. Nesta análise foi dada ênfase a dois aspectos fundamentais da Geometria Analítica: Lugares Geométricos e suas relações. Compreende-se como Lugar Geométrico, um conjunto de pontos que possuem uma dada propriedade, mediante a escolha apropriada do sistema de coordenadas. De acordo com essas propriedades são deduzidas equações algébricas. Viveiro e Côrrea definem que “um dos objetivos da Geometria Analítica é determinar a reta que representa uma certa equação ou obter a equação de uma reta dada estabelecendo uma relação entre a Geometria e a Algébrica”. Dessa forma, podemos afirmar que relação é tudo que se refere a posições de reta, distâncias de um ponto a outro ponto, de uma reta a outra, a intersecção entre duas retas, à distância de uma reta a uma circunferência e a distância entre duas circunferências. Pensando assim, procurei levantar nesta análise os fundamentos e a maneira como cada autor se coloca, observando a metodologia, a objetividade das atividades, a forma de distribuição dos conteúdos e a linguagem utilizada por cada um. CONSIDERAÇÕES SOBRE A ANALISE À parte que Iezzi explora as “condições de paralelismo, perpendicularismo e relações entre distancias”, são apresentadas tal qual as literaturas de Lamparelli e Imenes, diferenciando-se na forma de elaboração dos exercícios. Iezzi é pouco criativo no que diz respeito à maneira como enuncia suas atividades, não oportuniza ao aluno liberar a imaginação e muito menos a questionar o resultado. Lamparelli apresenta os conteúdos de maneira diferente de Iezzi. Ela procura explorar um assunto a partir de outro, mas também não usa nenhum tipo de problema que possa dar sentido ao assunto. Apresenta modelo de resolução algébrica, não diversifica os mesmos cada tópicos foi tratado da mesma forma. A metodologia utilizada por ela é completamente diferente do método utilizado por Imenes, visto que, esse inicia explorando os conteúdos a partir de uma situação-ploblema. Pode se dizer que ela utiliza a metodologia habitual, porque vai de maneira direta ao conceito sem relacionar com nenhum fato que possa ser vivenciado pelo o aluno. Galvão Filho, trabalhou apenas à parte de Geometria Analítica Plana e ainda de forma superficial. Aparentemente apresenta um trabalho fragmentado dando apenas noções para que o aluno saiba de sua existência. Acredito que por ser uma obra exclusiva para ensino de suplência, com aulas reduzidas, o autor tenha cometido falha no momento de classificar as prioridades, dando ênfase a fórmulas e exercícios sem fundamento prático e valorizando os exercícios repetitivos sem pensar muito na qualidade do aprendizado desse aluno. A obra foi organizada de maneira relativamente abrangente, com um nível razoável de conteúdos, com textos históricos na introdução de cada parte com uma leitura acessível ao aluno e os exercícios obedecendo a uma graduação de dificuldades. Em relação ao rigor matemático, possui uma abordagem simples dos tópicos e a cada exposição há um acompanhamento de conceitos e definições, seguido de exemplos resolvidos. Assim como Imenes, também acha importante e prático a idéia de que ao iniciar uma nova unidade seja feito a retomado de conceitos anteriores para além de subsidiar, facilitar e colaborar a compreensão dos novos itens. A abordagem metodológica no livro de Imenes é feita partindo sempre de um problema exploratório que possibilita ao aluno a compreensão para o entendimento da relação Álgebra / Geometria. Imenes da oportunidade ao aluno a descobri caminhos para resolução de problemas, onde a analise do resultado é vista como fato eficaz na compreensão do resultado para melhor concluir o problema, valorizado o diálogo entre aluno / professor, aluno / aluno propiciando a socialização de idéias, ferramentas ideais para que o aluno construa seu próprio conhecimento. A programação dos conteúdos dá uma abrangente liberdade para se promover atividades em grupos, liberdade essa, que exige mais habilidade e dedicação dos interessados, diferenciando-se totalmente dos métodos apresentados nos demais livros analisados. Para ele, a construção do conhecimento é mérito do próprio aluno. O que nos faz entender que, o papel do professor é orientar e incentivar o aluno a buscar sua autonomia em relação à aprendizagem. Ao contrário dos demais autores, Imenes preocupa-se com a conexão da Geometria Analítica a outros assuntos, bem como a contextualização histórica dos assuntos abordados em sua obra. Difere também na importância que dá ao uso adequado da calculadora. Para minimizar as dificuldades sobre o estudo das seções cônicas, ele criou um mecanismo diferente para trabalhar “conceito de superfície cônica através de duas folhas de papel”, uma dinâmica não utilizada por nenhum dos outros autores analisados na pesquisa. Dentre as obras analisadas nesta pesquisa, o livro de Galvão Filho é o que possui menor qualidade de expressão na apresentação dos fundamentos metodológicos, e de escasso embasamento teórico, tornando-se um instrumento vago para o aprendizado. PRINCIPAIS LIVROS ANALIZADOS Gelson Iezzi Tópicos de Matemático – volume III - 2ª. Edição School Mathemáticus Study Group Lidia C. Lamparelli. Matemática: Curso Colegial – volume I (1964) Wenceslau Carlos e Galvão Filho Matemática Integrada e Supletiva -Volume III José Ruy Giovanni Matemática: 2º Grau -São Paulo, 1988. Imenes Luiz Márcio Pereira Matemática Aplicada – São Paulo, Moderna. 1979 Jurandina Barbosa Sales
APRESENTAÇÃO Escolhi este tema por acreditar na importância que a Geometria Analítica tem para a formação do educando por isso resolvi alargar meus conhecimentos neste ramo para poder trabalhar com mais segurança, também tive como objetivo aprender escolher um bom livro didático. A primeira parte da pesquisa foi dedicada a um breve histórico sobre seu desenvolvimento e a colaboração dos dois maiores pensadores (Descartes e Fermat), aonde abordei as principais contribuições para seu desenvolvimento e sua consolidação. Na segunda parte faço análise e comparo alguns livros didáticos em relação à distribuição dos conteúdos, a linha metodológica e a estrutura elaborada por cada um dos autores, onde ressalto as diferenças e semelhanças entre textos e livros didáticos utilizados nas escolas de Ensino Médio. DESENVOLVIMENTO As primeiras idéias sobre a Geometria Analítica surgem na Grécia por volta dos séculos dezesseis – dezessete, mas a França é que passou ser centro do desenvolvimento matemático durante o segundo terço do século dezessete. Períodos considerado um dos mais difícil na historia da matemática devido à falta de intercomunicação. Os personagens que mais se destacaram foram, René Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665) outros franceses como, Gilles Persone de Roberval (1602-1675), Girand Desargues (1591-1661) e Blaise Pascal (1622-1667) e Mersenne teve um papel importante servindo de interlocutor de correspondência entre os grupos científicos na Itália, Inglaterra e França. Sendo considerado o centro de distribuição de informações de matemática. CONTRIBUIÇÕES DE DESCARTES (1596-1650) Descartes era filho de família humilde estudou num colégio jesuíta. Gradua-se em direito para satisfazer os desejos do pai. Viajou alguns anos, em companhia militares, apesar, de não ser militar. Aproveitava os intervalos das viagens para estudar e encontrar com outros estudiosos. Num desses encontros conheceu alguns dos principais estudiosos (sábios) da Europa. E um grupo de cientistas que discutiam e faziam criticas livremente sobre a filosofia aristotélica dessas discussões ele se tornou o pai da filosofia moderna para apresentar uma visão científica transformada do mundo e estabelecer um novo ramo da matemática, a Geometria Analítica. Eves, conta que o surgimento da Geometria Analítica ocorreu enquanto Renê Descartes, ficava sobre uma cama observando uma mosca voando, nessa observação, se deu conta de que toda posição ocupada pela mosca podia ser determinada pela intersecção de três planos ortogonais paralelos às faces da cama. A parti desse fato, ocorrido por volta de 1619, surge o sistema de coordenadas que nada mais é que a idéia de integração entre álgebra e geometria, atribuindo assim um novo campo de explorações para os tempos futuros. A MATEMÁTICA E O MÉTODO NA OPINIÃO DE DESCARTES Ele considerava a matemática a única ciência, capaz de desenvolver outras ciências sem fazer parte delas, procurava conhecer melhor a matemática, porque acreditava ser através dela que poderia impor argumentos. Apesar de ser considerado conhecedor dos princípios matemáticos, recorria a outros conhecimentos com a finalidade de gerar ciências. Via nas conversas dos grupos que priorizavam as coisas, mas deixavam passar despercebido à observação das relações entre elas. Para evitar transtorno desse tipo, ele considera fundamental a criação de um "método" para a procura da verdade com organização de estudos para exercitar a mente na busca do novo para desenvolver o hábito de fazer as coisas certas, porque a busca aleatória pode provocar cegueira. Seu propósito não era ensinar o método, pois cada um deve seguir o seu, para melhor conduzir sua própria razão. A matemática é considerada magnífica por Descartes, Embora os antigos tivessem como uma das ciências mais complicadas. Ainda que, dificultassem os meios de como se chegar aos resultados por questões de competição, as vezes massacrava a simplicidade dos cálculos, deixando como herança, a impressão de que “todo cálculo matemático” é complicado na verdade não é o cálculo, mas a descoberta do método. Ele apresenta a matemática como uma invenção, surpreendente e sutil que poderá servir tanto para satisfazer curiosos quanto para auxiliar as artes e também para poupar o trabalho do ser humano. Ele defendia uma matemática que não se mencionasse somente às coisas, mas às relações entre elas, relações essas que as matemáticas comuns não atraem no seu todo. Descartes se dedicou, aos estudos das matemáticas lendo a maior parte de tudo que os professores ensinavam em sua época, mas deu prioridade aos manuscritos de Aritmética e Geometria, porque eram consideradas as mais fáceis e que também eram vista como abertura para entender as demais áreas de conhecimentos. CONTRIBUIÇÕES de Fermat (1601-1665) Pierre de Fermat nasceu em 1601 na França, estudou direito em Toulouse na universidade de Orleans onde se formou advogado civil. -Serviu no parlamento local, como advogado, depois como conselheiro e nas horas vagas dedicava à literatura clássica, a outras ciências e a matemática, apenas por prazer. Aos 28 anos de idade começou fazer descobertas de grande importância em matemática. Em 1629 começou praticar um dos esportes favoritos da época, a “restauração” de obras perdidas da antiguidade. Se propôs a reconstruir os Lugares planos de Apolônio contido na coleção de matemática de Papus. E como resultado de seu esforço surge a descoberta do princípio fundamental da Geometria Analítica. “Sempre que uma equação final encontra-se duas quantidades incógnitas, temos um lugar, a extremidade de uma delas descrevendo uma linha, reta ou curva”. Fermat, Aqud, Boyer, (1994, p.253). Esse escrito aparece um ano antes da Geometria de Descartes, mas como não tinha influencia como Descartes seu trabalho não foi publicado. Em 1636, Carcavi foi a Paris e fez contato com Mersenne e seu grupo Mersenne se sentiu motivado com o relato sobre o trabalho de Fermat. Esse ao se comunicar com Mersenne contou sobre erros que acreditava ter encontrado nos trabalhos de Galileu, sobre queda livre, contou também sobre suas experiências em espirais e sobre a restauração do trabalho sobre planos. Seu trabalho em espirais foi motivado pela consideração do caminho descrito por corpos em queda livre, usando métodos generalizados a partir de sobre espirais de Arquimedes. Segundo Boyer, a exposição do método apresentado por Fermat em relação a vários casos de equações quadraticas com duas incógnitas era mais didático que o de Descartes.Alem disso, sua Geometria Analítica era mais próxima da atual pelo fato de ser as coordenadas usualmente tomadas perpendicularmente ao eixo das abscissas. Apesar das descobertas sobre queda livre, Fermat não tinha grandes interesses em aplicações físicas e da matemática. Por que estava mais interessado em provar teoremas sobre geometria, do que em sua relação com o mundo real. Na primeira carta dele a Mersenne, havia dois problemas sobre máximos, que ele pediu a Mersernne que passasse aos matemáticos de Paris. Este era seu estilo, desafiar outros a obter resultados que ele já sabia. Roberval e Mersenne acharam os problemas propostos difíceis e insolúveis. Pediram a Fermat que divulgasse suas técnicas de resolução os quais, mandou o processo para determinar máximos, mínimos e tangentes a linhas curvas, e a aproximação da algébrica a geometria. Sua maneira de desafiar outros matemáticos contribuiu para as inimizades.Em uma dessas controvérsias envolveu Descartes. Ao receber o trabalho de Descartes, intitulado La Deoptrique deu sua opinião sobre o trabalho dizendo, Descartes ainda esta “Tateando nas sombras”. Descartes ficou furioso com o adversário, tentou atacar os métodos de Fermat para máximos, mínimos e tangentes, mas Fermat mostrou ser correto e Descartes acabou concordando. Tanto Descartes quanto Fermat entenderam a conexão básica entre uma curva geométrica e uma equação em duas incógnitas. Usaram como ferramenta básica, um único eixo, uma das incógnitas era medida, ao invés dos dois eixos como utilizamos hoje. Os dois abordavam o assunto sob pontos de vistas diferentes: - Descartes se interessava em geometria, a partir da descrição geométrica de uma curva, ele era capaz de obter a equação para essa curva, como isso, ele era forçado a lidar com equações complexas. A complexidade de certas equações algébricas fez com que descobrisse métodos para lidar com equações de alto grau. - Fermat, declarou que uma equação em duas variáveis determinava uma curva, ele sempre começava com a equação para depois descrever a curva. Ambos enfatizaram dois diferentes aspectos da relação entre equação e curva. Fermat não teve influencia de um trabalho publicado, embora fosse apresentado claramente e circulado em toda a Europa. Enquanto o trabalho de Descartes apos ser feita alguma correção foi novamente editado e reconhecido como ele o desejava. A CONSOLIDAÇÃO
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